Мерзляк. § 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Ознакомительная версия перед покупкой учебника: «Математика 6 класс / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир — М.: Вентана-Граф, 2014». Глава 1. Делимость натуральных чисел. Цитаты использованы в учебных целях.

ОГЛАВЛЕНИЕ  Купить книгу

 


Глава 1. Делимость натуральных чисел

 

§ 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2


Вы смотрели «Мерзляк. § 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2»

OCR-версия данного раздела
2. Признаки делимости на 10. на 5 и на 2

Последняя цифра каждого из чисел 90, 210, 1 400 равна нулю. Все эти числа делятся нацело на 10. Действительно, каждое из них можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых равно 10. Имеем: 90 = 9 • 10, 210 = 21 • 10, 1 400 = 140 • 10. Последняя цифра числа 187 не равна нулю. Это число не делится нацело на 10. Действительно, можно записать: 187 = 180 + 7. Число 187 мы представили в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится нацело на 10, а другое — не делится. Из правила, сформулированного в предыдущем параграфе, следует, что такая сумма не делится нацело на 10. Приведённые примеры иллюстрируют, как по записи натурального числа можно установить, делится оно нацело на 10 или нет. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от О, то число не делится нацело на 10. Эти два утверждения называют признаком делимости на 10. Найдём неполное частное и остаток при делении некоторых натуральных чисел на 10. Имеем: 173 = 170 + 3 = 10 • 17 + 3; 4 258 = 4 250 + 8 = 10 • 425 + 8; 20 005 = 10 • 2 000 + 5. Эти примеры иллюстрируют следующее: если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному последней цифрой этого числа. С помощью последней цифры числа устанавливают и другие признаки делимости. Числа 2, 14, 26, 58 делятся нацело на 2. Натуральные числа, которые нацело делятся на 2, называют чётными. Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют нечётными. Например, числа 3, 5, 17, 349, 10 001 — нечётные. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. А как, не выполняя деления, установить чётность числа? И здесь помогает признак делимости. © Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится нацело на 2. © Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2. Отметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1. Например, 53 = 2 • 26 -h 1, 121 =2-60+1. Заметим, что если чётное число умножить на 5, то получится число, последняя цифра которого равна 0. Например, 2*5=10, 16-5 = 80, 28 • 5 = 140. Если же нечётное число умножить на 5, то последняя цифра полученного произведения будет равна 5. Например, 3*5=15, 17 *5 = 85, 29 • 5 = 145. Итак, последней цифрой числа п • 5, где п — любое натуральное число, является 0 или 5. Также верно утверждение: если натуральное число оканчивается цифрой 0 или 5, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых равно 5, т. е. представить в виде п • 5, где п — некоторое натуральное число. Например, 15 = 3*5, 120 = 24 • 5. Теперь понятно, как среди натуральных чисел распознавать те, которые кратны 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от О или 5, то это число не делится нацело на 5. Например, числа 15, 35, 70, 3 580, 11 445 делятся нацело на 5, а числа 17, 24, 5 553, 172 802 нацело на 5 не делятся. 1. Какой цифрой должна оканчиваться запись натурального числа, чтобы оно делилось нацело на 10? 2. Какие числа называют чётными? Нечётными? 3. Какие цифры называют чётными? Нечётными? 4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет? 5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 5 или нет? 1. Верно ли утверждение: 1) число 17 является делителем числа 34; 2) число 5 является делителем числа 35; 3) число 45 является кратным числа 10; 4) число 17 кратно числу 2? 2. Назовите четыре натуральных числа, для которых делителем является число: 1) 2; 2) 7. 3. Назовите четыре натуральных числа, кратных числу: 1) 5; 2) 11. 4. Назовите в порядке возрастания все делители числа: 1) 6; 2) 14; 3) 40; 4) 9; 5) 7. Упражнения 40. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «-» в ином случае). Число 24 53 60 78 79 96 142 241 495 7 207 Чётное число Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5 465, 8 216, 2 405, 1 020, 246 370 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1 270, 2 625, 9 042, 7 121, 1 734: 1) не делятся нацело на 2; 2) кратны 10; 3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10? Верно ли утверждение: 1) сумма двух чётных чисел является чётным числом; 2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом; 3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом; 4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа; 5) произведение двух чётных чисел является чётным числом; 6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом; 7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом? 44. Запишите все нечётные значения х, при которых верно неравенство: 1) 273 < х < 290; 2) 2 725 < х < 2 737. 45. Запишите все чётные значения х, при которых верно неравенство: 1) 134 < х < 160; 2) 489 < х < 502. 46. Найдите все значения х, кратные числу 5, при которых верно неравенство: 1) 38 < х < 75; 2) 3 720 < х < 3 754. 47. Найдите все значения х, кратные числу 10, при которых верно неравенство: 1) 279 < х < 320; 2) 1 465 < х < 1 510. 48. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться). 49. Найдите все цифры, которые можно дописать справа к числу 793, чтобы получить число, кратное: 1) 2; 2) 5; 3) 10 (можно дописывать только одну цифру). 50. Запишите наибольшее: 1) четырёхзначное число, кратное 2; 2) пятизначное число, кратное 5; 3) шестизначное число, кратное 10. Цифры в записи числа не могут повторяться. 51. 1) Запишите шесть первых натуральных чисел, кратных 100. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 100. 2) Запишите восемь первых натуральных чисел, кратных 25. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 25. 52. Найдите наибольшее двузначное число х, при котором значение выражения х — 32 делится нацело на 5. 53. Найдите наименьшее трёхзначное число г/, при котором значение выражения 327 + у является числом, кратным 10. 54. Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 2? 55. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны: 1) 1; 2) 5? 56. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чётным или нечётным числом будет их произведение? 2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обязательно ли их произведение будет чётным числом? Чётной или нечётной будет сумма семи натуральных слагаемых, если: 1) четыре слагаемых чётные, а остальные — нечётные; 2) четыре слагаемых нечётные, а остальные — чётные? Сумма девяти натуральных слагаемых равна 1 000. Можно ли утверждать, что их произведение — чётное число? Ответ объясните. Можно ли разложить 50 яблок на пять кучек, в каждой из которых нечётное количество яблок? Ответ объясните. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12 345 см2? Известно, что га — натуральное число. Является ли чётным числом значение выражения: В школе работают два ночных охранника — Иван Иванович и Пётр Петрович. Они дежурят по очереди с вечера до утра следующего дня. Иван Иванович заступил на дежурство 1 сентября, а Пётр Петрович — 2 сентября. Кто из них заступит на дежурство 18 сентября? 29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября? По каким числам — чётным или нечётным — будет дежурить Иван Иванович в ноябре? Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год? Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2? Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произведению: Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивается цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите эти числа. Сколько существует двузначных чисел, для записи которых использованы только: 1) чётные цифры; 2) нечётные цифры? Можно ли в выражении 1+2 + 3+ …+8 + 9 заменить некоторые знаки «+» на знаки «—» так, чтобы значение полученного числового выражения было равным 18? Упражнения для повторения Докажите, что: 1) 14 168 кратно 28; 3) 73 является делителем 14 892; 2) 1 878 не кратно 24; 4) 56 не является делителем 5 172. Q 69. По состоянию на 2008 год в России было 57 естественнонаучных и научно-технических музеев. Сколько всего музеев каждого из этих видов, если научно-технических музеев в 2 раза меньше, чем естественнонаучных? 70. По состоянию на 2008 год в России был 141 государственный природный заповедник и национальный парк. Сколько в России природных заповедников и сколько национальных парков, если заповедников на 61 больше, чем парков? 71. Выполните действия: 1) (69 • 0,63 — 10,098 : 5,4 — 20,54) : 0,324; 2) 0,98-3,8-0,132:5,5 -2,45. Задача от мудрой совы 72. В клетках таблицы размером 3X3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2X2 клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 1?

Похожие записи

Leave a Comment