Математика Виленкин Учебник 5

Математика Виленкин Учебник 5 «Понятие множества» (задания №№ 1.164 — 1.198) из § 1 «ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ». Ознакомительный фрагмент учебника 2023 года. Цитаты из учебного пособия использованы в учебных целях для семейного, заочного и дистанционного обучения.

Математика 6 класс (Виленкин, 2023) §1 п.5

<< §1 п.4   Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ   §1 п.6 >>

5. Понятие множества

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: • множество • пустое множество • элемент множества • подмножество • пересечение множеств • объединение множеств.

Отметим на координатной прямой числа от 0 до 9:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Получим множество однозначных чисел. Обозначим его буквой А. Вообще множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита. Множество А записывают с помощью фигурных скобок так:
А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Каждое из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 принадлежит множеству {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Никакое другое число этому множеству не принадлежит.

Множество натуральных чисел, расположенных на координатной прямой между числами 1 и 3, состоит только из одного числа 2. Это множество обозначают {2}.

Множество натуральных чисел, расположенных между числами 1 и 2, не содержит ни одного числа. Такое множество называют пустым множеством. Пустое множество обозначают знаком ∅.

Множества могут состоять не только из чисел, но также из точек, фигур, людей, городов и т. д. В жизни различные множества называют по-разному: группа людей, стая птиц, колонна грузовиков.

Каждый предмет, входящий в множество, называют элементом множества. Множество однозначных чисел состоит из следующих элементов: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В множестве материков содержатся элементы: Евразия, Африка, Северная Америка, Южная Америка, Австралия и Антарктида.

Фигурные скобки используются для записи множества с любыми элементами. Запишем множество планет Солнечной системы: {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун}.

Элементы множества можно записывать в любом порядке. Например: {25, 35, 15} и {35, 15, 25} — это одно и то же множество, состоящее из чисел 15, 25, 35: {25, 35, 15} = {35, 15, 25}.

Чтобы записать, что элемент входит в данное числовое множество, используют специальный символ принадлежности ∈. С его помощью утверждение: «Число 9 принадлежит множеству А» — можно записать так: 9 ∈ А.

Если число не принадлежит данному множеству, то для записи этого факта используют перечёркнутый знак принадлежности. Например, 14 ∉ А.

Множества могут состоять из разного количества элементов. Например, множество натуральных чисел N состоит из бесконечного числа элементов, множество Z естественных спутников Земли состоит из одного элемента: Z = {Луна}, а множество натуральных чисел, меньших 1, не содержит ни одного элемента.

В множестве, имеющем несколько элементов, можно выделить некоторую часть и составить из неё новое множество. Например, из множества однозначных чисел А можно выделить множество чётных однозначных чисел и обозначить его В:
В = {0, 2, 4, 6, 8}.

Часть данного множества называют подмножеством. В приведённом примере множество В является подмножеством множества А. Записать это утверждение с помощью букв и символов можно так: В ⊂ А.

Схематично подмножество множества можно изобразить так, как на рисунке 1.18.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Рассмотрим два множества:
К = {10, 12, 14, 16, 18, 20} и L = {5, 10, 15, 20, 25}.
Только числа 10 и 20 входят в оба множества, т. е. составляют общую часть двух множеств. Множество М = {10, 20} называют пересечением множеств К и L. Пересечение множеств записывают так: К ∩ L = М. Символ ∩ читают как «пересечение».

Пересечение множеств можно изобразить схематично так, как на рисунке 1.19, а.

Пересечение множеств может не содержать ни одного элемента, т. е. являться пустым множеством. Например, пересечение множества В = {0, 2, 4, 6, 8} с множеством D = {1, 3, 5, 7, 9} является пустым множеством (рис. № 1.19, б). С помощью символьной записи это можно записать так: В ∩ D = ∅.

Если объединить множества В = {0, 2, 4, 6, 8} и D = = {1, 3, 5, 7, 9}, получится множество однозначных чисел, которое мы обозначили буквой А. Таким образом, объединение множеств В и D есть множество А. С помощью символьной записи этот факт можно записать так: В ∪ D = А, где символ и читают как «объединение».

Схематично объединение множеств можно изобразить так, как на рисунке 1.20.

Изображённые схематически соотношения между множествами позволяют упростить решение некоторых задач.

Задача. Из 46 учащихся 6 класса 29 человек посещают спортивные секции, 21 — кружок по математике, а 11 человек посещают и кружок по математике, и спортивные секции. Сколько человек не увлекаются ни математикой, ни спортом?

Решение. Множество учащихся, увлекающихся математикой, обозначим буквой М, а множество учащихся, увлекающихся спортом — буквой С. Увлекаются и математикой, и спортом 11 человек, поэтому в пересечении множеств М и С пишем 11 (рис. № 1.21). Тогда только математикой занимаются 21 – 11 = 10 (человек), а только спортом — 29 – 11 = 18 (человек). Узнаем, сколько человек увлекаются математикой и спортом: 10 + 11 + 18 = 39 (человек). Значит, не увлекаются ни математикой, ни спортом 46 – 39 = 7 (человек).

• Приведите примеры числовых множеств; нечисловых множеств.
• Что такое элемент множества?
• Сколько элементов может содержать множество?
• Приведите примеры бесконечных множеств.
• Что такое пустое множество? Как его обозначают?
• Что такое подмножество; пересечение множеств; объединение множеств.

Упражнения № 1.164 – № 1.198

№ 1.164. Приведите примеры нечисловых множеств, связанных; а) с неживой природой; б) с бытом людей; в) с живой природой; г) с человеческим обществом.

№ 1.165. Найдите обобщающее слово, которым можно назвать множество: а) птиц; б) овец; в) лошадей; г) коров.

№ 1.166. Запишите числовое множество, состоящее из всех двузначных чисел;
а) от 40 до 50 включительно;
б) которые делятся на 9 без остатка;
в) запись которых состоит из двух одинаковых цифр;
г) в запись которых входит цифра 2.

№ 1.167. Составьте множество всех трёхзначных чисел, запись которых состоит:
а) из цифр 2, 4, 7 без повторений;
б) из цифр 0, 5, 9 с возможным повторением.

№ 1.168. Запишите множество:
а) всех правильных дробей со знаменателем 6;
б) всех неправильных дробей с числителем 5.

№ 1.169. Дано множество X = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}. Верно ли, что: а) 0,3 ∈ X; б) 0,21 ∈ X; в) 0,60 ∈ X; г) 1,0 ∉ X?

№ 1.170. Дано множество А = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Составьте его подмножество В, элементами которого являются все:
а) числа, которые делятся на 10; в) однозначные числа;
б) нечётные числа; г) числа, большие 50.

№ 1.171. Запишите множество всех натуральных чисел, на которые делится число: а) 6; б) 12; в) 15; г) 2.

№ 1.172. Составьте множество А всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20, и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

№ 1.173. Составьте множество А всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 9, и множество В всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 8. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

№ 1.174. Запишите множество А всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 15, и множество В всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 10. Найдите пересечение и объединение множеств А и В.

№ 1.175. На соревнования шестиклассников пришли родители: 27 пап и 39 мам. У скольких учащихся пришли мама с папой вместе, если в соревнованиях принимали участие 53 ученика и у каждого учащегося пришёл хотя бы один из родителей?

№ 1.176. При опросе 100 учеников выяснилось, что у 33 из них есть брат, у 54 — сестра, а у 37 учеников нет ни брата, ни сестры. У скольких учеников есть и брат, и сестра?

№ 1.177. Вычислите.

№ 1.178. Выполните действия:
1) 18 408 : (268 • 75 – 19 746) + 959;
2) (86 • 217 + 275 116) : 859 + 279 569.

№ 1.179. Найдите значение выражения:
а) 85 + 203х + 102х + 91, х = 76; 201;
б) 79у – (23у – 15у), у = 15; 309.

№ 1.180. На лесоперерабатывающем предприятии по заказу было изготовлено 150 м³ пиломатериалов: бруса, половой доски и вагонки. При этом бруса было изготовлено 72 м³, половой доски — 45 м³. Сколько кубометров вагонки было изготовлено?

№ 1.181. Длины двух сторон четырёхугольника составляют 3/11 и 4/11 его периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника.

№ 1.182. Найдите значение выражения:
а) ((3,2 + 0,32) : 0,1 – (50 – 7,2) • 0,1) • 100;
б) ((4,3 – 1,08) : 0,1 + (40 – 8,4) • 0,1) • 100.

№ 1.183. За 14 дней завод изготовил 560 стиральных машин, а в следующие 6 дней стал выпускать на 5 машин в день больше. Сколько машин выпустил завод за 20 дней?

№ 1.184. В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?

№ 1.185. Решите уравнение:
а) (0,87m – 0,66m) • 10 : 2 : 3 = 0;
б) 10 • (1,37k – 0,12k) : 5 : 8 = 0.

№ 1.186. Если число лет Кати увеличить на 11 и полученный результат уменьшить в 6 раз, то будет 4. Сколько лет Кате?

№ 1.187. Из одного пункта в противоположных направлениях отправились два велосипедиста, и через 1,5 ч расстояние между ними стало 39 км. С какой скоростью двигались велосипедисты, если скорость одного из них была на 2 км/ч больше скорости другого?

№ 1.188. Составьте множество, элементами которого являются:
а) океаны; б) материки; в) континенты;
г) моря, омывающие российские берега;
д) все правильные дроби со знаменателем 12;
е) неправильные дроби с числителем 10.

№ 1.189. Запишите множество из трёх–четырёх элементов, состоящее из единиц измерения: а) длины; б) массы; в) площади; г) объёма.

№ 1.190. Дано множество М = {0,4; 3; 2/3; 8; 2,5; 7/8; 3 ¹/₂; 1; 0}. Составьте из его элементов подмножество Р всех:
а) натуральных чисел; б) обыкновенных дробей; в) десятичных дробей; г) целых чисел.

№ 1.191. Запишите множество всех трёхзначных чисел, в записи которых используются только цифры 1 и 0.

№ 1.192. Найдите пересечение множеств А и С, если А — множество всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1, а С — множество всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.

№ 1.193. Найдите пересечение и объединение множеств X и У, если X — множество всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка, а У — множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка.

№ 1.194. Найдите пересечение и объединение множеств М и N, если М — множество всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10, N — множество всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.

№ 1.195. В зимние каникулы каждый из 18 детей побывал на спектакле или на новогоднем представлении. Из них 12 человек смотрели спектакль, а 9 — новогоднее представление. Сколько детей было и на спектакле, и на новогоднем представлении?

№ 1.196. Выполните действия:
а) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388);
б) 1 067 154 : 4 807 – 189 + 707 • 390.

№ 1.197. В пяти маленьких и двух больших коробках 54 цветных карандаша, а в трёх маленьких и двух больших коробках 42 карандаша. Сколько карандашей в одной маленькой и сколько в одной большой коробке?

№ 1.198. Выполните действия:
а) 1,7 • (3,9658 + 16,0142) – 8,591 : (7,1 – 5,68);
б) ((4 : 0,128 + 14628,25) : 1,011 • 0,00008 + 6,84) : 12,5.

ПРИМЕНЯЕМ МАТЕМАТИКУ

1. Расход топлива у автобуса был 33 л на 100 км. После регулировки двигателя расход уменьшился на 10%. Найдите расход топлива после регулировки.
2. Банк начисляет вкладчику 6 % годовых ежегодно на всю сумму денег на вкладе. Вкладчик положил на счёт 30 000 р. и не снимал деньги со счёта в течение трёх лет и не брал процентные начисления. Сколько денег было на счёте вкладчика через год; через три года?
3. В таблице представлены цены на одни и те же продукты в трёх магазинах.
   
   В каком магазине стоимость покупки упаковки сыра, двух батонов и трёх пакетов молока будет наименьшей и чему она будет равна, если на покупки в магазине «По соседству» имеется скидка 5 % по дисконтной карте, а в магазине «По пути» проходит акция: при покупке двух пакетов молока третий бесплатно?
4. Холодильник стоил 30 600 р. В мае цена холодильника была снижена на 20 %, а в декабре — ещё на 5 %. Какой стала стоимость холодильника в декабре?
5. В начале года тариф на электроэнергию составлял 1,47 р. за 1 кВт•ч. В середине года он увеличился на 15%, а в конце года ещё на 5 %. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 20 %; менее чем на 20 %; более чем на 20 % ?
6. В школу привезли мебель. Рост учеников 6 класса в сантиметрах записали так:
   143 150 132 142 142 165 137 145 146 138 155 151 139 151 144
   147 162 159 155 137 138 142 156 153 146 144 152 139 140 155
   160 139 143 157 162 158
   Составьте частотную таблицу роста учеников. Используя таблицу ниже, и составьте заказ мебели для класса.

7. 1) На круговой диаграмме (рис. № 1.22) показано использование свободного времени за неделю шестиклассником Димой. Определите:
   а) на что он тратит меньше всего времени;
   б) сколько процентов свободного времени Дима тратит на компьютерные игры.
   2) Нужно ли что–то изменить Диме в распределении свободного времени?
   3) Составьте диаграмму использования своего свободного времени за неделю и проанализируйте её.
   

Вы смотрели: Математика Виленкин Учебник 5 «Понятие множества» (задания №№ 1.164 — 1.198) из § 1 «ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ». Ознакомительный фрагмент учебника 2023 года.

<< §1 п.4   Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ   §1 п.6 >>